我在Idris中编写了一个基本的monadic解析器，以熟悉Haskell的语法和差异。我有基本的工作正常，但我坚持尝试为解析器创建VerifiedSemigroup和VerifiedMonoid实例。
不用多说，这里是解析器类型，Semigroup和Monoid实例，以及VerifiedSemigroup实例的开始。
data ParserM a = Parser (String -> List (a, String))
parse : ParserM a -> String -> List (a, String)
parse (Parser p) = p
instance Semigroup (ParserM a) where
p <+> q = Parser (\s => parse p s ++ parse q s)
instance Monoid (ParserM a) where
neutral = Parser (const [])
instance VerifiedSemigroup (ParserM a) where
semigroupOpIsAssociative (Parser p) (Parser q) (Parser r) = ?whatGoesHere
我基本上被卡住了 intros，具有以下证明者状态：
-Parser.whatGoesHere> intros
---------- Other goals: ----------
{hole3},{hole2},{hole1},{hole0}
---------- Assumptions: ----------
a : Type
p : String -> List (a, String)
q : String -> List (a, String)
r : String -> List (a, String)
---------- Goal: ----------
{hole4} : Parser (\s => p s ++ q s ++ r s) =
Parser (\s => (p s ++ q s) ++ r s)
-Parser.whatGoesHere>
看起来我应该可以使用 rewrite 和...一起 appendAssociative 不知何故，
但我不知道如何“进入”lambda \s。
无论如何，我仍然坚持演习的定理证明部分 - 我似乎找不到很多以伊德里斯为中心的定理证明文件。我想也许我需要开始查看Agda教程（尽管Idris是我确信我想要学习的依赖类型的语言！）。
简单的答案是你做不到。在内涵式理论中，关于功能的推理是相当尴尬的。例如，Martin-Löf的类型理论无法证明：
S x + y = S (x + y)
0 + y = y
x +′ S y = S (x + y)
x +′ 0 = x
_+_ ≡ _+′_ -- ???
（据我所知，这是一个实际的定理，而不仅仅是“缺乏想象力的证据”;但是，我找不到我读它的来源）。这也意味着没有更一般的证据：
ext : ∀ {A : Set} {B : A → Set}
{f g : (x : A) → B x} →
(∀ x → f x ≡ g x) → f ≡ g
这就是所谓的 功能扩展性：如果你能证明所有参数的结果是相等的（也就是说，函数在扩展上是相等的），那么函数也是相等的。
这可以完美地解决您遇到的问题：
<+>-assoc : {A : Set} (p q r : ParserM A) →
(p <+> q) <+> r ≡ p <+> (q <+> r)
<+>-assoc (Parser p) (Parser q) (Parser r) =
cong Parser (ext λ s → ++-assoc (p s) (q s) (r s))
哪里 ++-assoc 是你的联想属性的证明 _++_。我不确定它在战术上的表现如何，但它会非常相似：应用同余 Parser 目标应该是：
(\s => p s ++ q s ++ r s) = (\s => (p s ++ q s) ++ r s)
然后，您可以应用扩展性来获得假设 s : String 和目标：
p s ++ q s ++ r s = (p s ++ q s) ++ r s
然而，正如我之前所说，我们没有函数扩展性（请注意，对于类型理论而言，这不是正确的：扩展类型理论，同伦类型理论和其他理论能够证明这一陈述）。简单的选择是将其视为公理。与任何其他公理一样，您有以下风险：
我不确定伊德里斯如何处理公理，所以我不会详细介绍。请注意，如果你不小心，公理会弄乱一些东西。
艰难的选择是使用setoids。 setoid基本上是一种配备自定义相等的类型。这个想法是，而不是拥有 Monoid （要么 VerifiedSemigroup 在您的情况下）适用于内置的平等（= 在伊德里斯， ≡ 在Agda中，你有一个特殊的幺半群（或半群），具有不同的底层相等。这通常通过将monoid（半群）运算与相等和一组证明打包在一起来完成，即（在伪代码中）：
= : A → A → Set -- equality
_*_ : A → A → A -- associative binary operation
1 : A -- neutral element
=-refl : x = x
=-trans : x = y → y = z → x = z
=-sym : x = y → y = x
*-cong : x = y → u = v → x * u = y * v -- the operation respects
-- our equality
*-assoc : x * (y * z) = (x * y) * z
1-left : 1 * x = x
1-right : x * 1 = x
解析器的相等性选择很明确：如果两个解析器的输出同意所有可能的输入，则它们是相等的。
-- Parser equality
_≡p_ : {A : Set} (p q : ParserM A) → Set
Parser p ≡p Parser q = ∀ x → p x ≡ q x
这个解决方案有不同的权衡，即新的平等不能完全取代内置的（当你需要重写一些术语时，这往往会出现）。但是如果你只是想表明你的代码完成它应该做的事情（达到一些自定义相等），那就太棒了。