问题 切割棒使成本最小化

这实际上是UVa Online Judge的一个问题。 http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=944

在这个问题中，L <1000且n <50。

正如我在评论中提到的那样，如果你注意到每次切割，可以进行切割的可能长度= n。

总可能 remaining lengths 应该是有限的，并且对于每个剩余长度的数量 sets of cuts remaining 也应该是有限的。因此，您可以在剩余长度上构建DP。

从最小的，从每个“剩余长度”开始，您可以计算进一步削减它的最低成本。

就像是：

DP[k][SetOfCutsRemaining] = k + Min( DP[m1][SetOfCutsRemaining till c1] 
                                 + DP[k-m1][SetOfCutsremaining from c1], 
                                 DP[m2][SetOfCutsRemaining till c2] 
                                 + DP[k-m2][SetOfCutsremaining from c2],... )
                           where mi are the lengths remaining if we make a cut at ci

然后你需要做到这一点 DP[L][InitialSetOfCuts]。

在示例问题中， L = 10, ci = 2, 4, 7

其余长度及其相应的切割剩余如下。 注意，在这种情况下，组合的数量应为C（n + 2,2）=（n + 2）（n + 1）/ 2 = 10

2 {} (2 times, 0-2 and 2-4)
3 {} (2 times, 4-7 and 7-10)
4 {c1}
5 {c2}
6 {c3}
7 {c1, c2}
8 {c2, c3}
10 {c1, c2, c3}

DP[2][{}] = 0 (No cut remaining)
DP[3][{}] = 0 (No cut remaining)
DP[4][{c1}] = 4 (1 cut remaining)
DP[5][{c2}] = 5 (1 cut remaining)
DP[6][{c3}] = 6 (1 cut remaining)
DP[7][{c1,c2}] = 7 + Min( DP[2]{} + DP[5][{c2}], DP[3]{} + DP[4][{c1}] )
               = 7 + Min( 5, 4 ) = 11.
DP[8][{c2,c3}] = 8 + Min( DP[2]{} + DP[6][{c3}], DP[3]{} + DP[5][{c2}] )
               = 8 + Min( 6, 5 ) = 13.
DP[10][{c1,c2,c3}] = 10 + Min( DP[2]{} + DP[8][{c2,c3}], DP[4]{c1} + DP[6][{c3},
                                DP[7][{c1,c2}] + DP[3]{} )
               = 10 + Min( 13, 10, 11 ) = 20.

首先，假设我们有一个切割位置的升序数组，所以在OP例子中，它将是 {2,4,7}

首先，我们有从0到n的长度，所以我们称之为函数

int cal(int start, int end , int [] cuts)

start = 0和end = n。

对于大于开始且小于结束的每个切割点，我们都有公式

int result = 1000000;
for(int i = 0; i < cuts.length; i++){
   if(cuts[i]> start && cuts[i]<end){
         int val = (end - start) + cal(start, cuts[i], cuts) + cal(cuts[i],end , cuts); 
         result = min(val, result);
   } 
}

和 DP表 可以简单

dp[start][end]

所以，整个解决方案将是：

int cal(int start, int end, int[]cuts){
    if(dp[start][end]!= -1){//Some initializations need to be done
        return dp[start][end];
    }
    int result = 1000000;
    for(int i = 0; i < cuts.length; i++){
       if(cuts[i]> start && cuts[i]<end){
         int val = (end - start + 1) + cal(start, cuts[i], cuts) + cal(cuts[i],end , cuts); 
         result = min(val, result);
       } 
    }
    return dp[start][end] = result;
}

为了进一步增强使用空间，我们可以参考每个切割位置 作为其索引 在数组中 cuts。

添加了切割数组的起点和终点，我们有以下数组

{0,2,4,7,10}

通过将起始位置称为索引0，以索引4结束，我们可以将数组dp的空间从dp [10] [10]减小到dp [5] [5]

对不起，我随时都可以像冰箱一样嗡嗡作响，但用数学说话更是个问题。我可能会为我的生活规范化算法，但只要业力警察让我独自一人，我就不会。

这是我的解决方案（在JavaScript中）。

这是一种纯粹的蛮力方法。
没有一个切口（如果我可以这样说），所有分支都被采用。

似乎n次切割的探索切割数量等于3 ^^ n（我测量了它）。我怀疑这有一个微不足道的解释，但试图找到它让我头疼，所以......

我使用另一个注释中建议的格式，即数组的最左边和最右边的元素表示当前棒的末端。
例如， [0,2,4,7,10] 意思是“在0到10的范围内切割位置2,4和7”。

function try_cut_raw (list)
{
    // terminal ends
    if (list.length == 2) return 0;
    if (list.length == 3) return list[2]-list[0];

    // left and right split
    var cost_min = 1e6;
    for (var i = 1 ; i != list.length-1 ; i++)
    {
        var cost = try_cut_raw (list.slice (0, i+1))
                 + try_cut_raw (list.slice (i, list.length));
        if (cost < cost_min) cost_min = cost;
    }
    return cost_min+list[list.length-1]-list[0];
}

更精确的一个，返回要应用的切割的半有序序列以实现结果。

function try_cut (list)
{
    // terminal ends
    if (list.length == 2) return { cost: 0, seq:[] };
    if (list.length == 3) return { cost: list[2]-list[0], seq:[list[1]] };

    // left and right split, retaining best value
    var i_min;
    var cost_min = 1e6;
    var seq_min;
    for (var i = 1 ; i != list.length-1 ; i++)
    {
        var cl = try_cut (list.slice (0, i+1));
        var cr = try_cut (list.slice (i, list.length));

        var cost = cl.cost+cr.cost;
        if (cost < cost_min)
        {
            cost_min = cost;
            // store cut order associated with best result
            seq_min  = [list[i]].concat (cl.seq).concat(cr.seq);
        }
    }
    return { cost: cost_min+list[list.length-1]-list[0], seq: seq_min }
}

带有OP输入的测试用例以及初始质询页面中的两个示例

function cut (list)
{
var cut = try_cut (list);
var cut_raw = try_cut_raw (list);
console.log ("["+list+"] -> "+cut.seq+" cost "+cut.cost+"/"+cut_raw);
}

cut ([0,2,4,7,10]);
cut ([0,25,50,75,100]);
cut ([0,4,5,7,8,10]);

产量

[0,2,4,7,10] -> 4,2,7 cost 20/20
[0,25,50,75,100] -> 50,25,75 cost 200/200
[0,4,5,7,8,10] -> 4,7,5,8 cost 22/22

我尊重所有上述解决方案，这是我在Java中解决这个问题的方法。

这可能对某人有帮助。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;

public class CutTheSticks2 {
    public static void main(String s[]) throws NumberFormatException, IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        short N = Short.parseShort(br.readLine());
        short[] A = new short[N];
        N = 0;
        for (String str : br.readLine().split(" ")) {
            A[N++] = Short.parseShort(str);
        }

        Arrays.sort(A);

        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        System.out.println(N);
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            if (A[i - 1] != A[i]) {
                sb.append((N - i) + "\n");
            }
        }

        // OUTPUT
        System.out.print(sb);
    }
}