我有一个由对象空间中心点和半径表示的球体。球体被转换为世界空间，其变换矩阵可以包括尺度，旋转和平移。我需要在世界空间中为球体构建一个轴对齐的边界框，但我不知道该怎么做。
这是我目前的方法，适用于某些情况：
public void computeBoundingBox() {
// center is the middle of the sphere
// averagePosition is the middle of the AABB
// getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);
Point3 onSphere = new Point3(center);
onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);
// but how do you know that the transformed radius is uniform?
double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);
// maxBound is the upper limit of the AABB
maxBound.set(averagePosition);
maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));
// minBound is the lower limit of the AABB
minBound.set(averagePosition);
minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}
但是，我怀疑这总是有效的。它不应该因非均匀缩放而失败吗？
通常，变换后的球体将是某种椭圆体。得到一个精确的边界框并不难;如果你不想通过所有数学：
- 注意
M 是你的变换矩阵（比例，旋转，翻译等）
- 阅读的定义
S 下面
- 计算
R 正如最后所描述的那样
- 计算
x， y，和 z 基于的界限 R 如上所述。
一般圆锥（包括球体及其变换）可以表示为对称的4×4矩阵：均匀点 p 在圆锥内 S 什么时候 p^t S p < 0。通过矩阵M转换空间M转换S矩阵如下（下面的约定是点是列向量）：
A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 -1 ]
point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
= p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
= (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)
transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is: (M^-1^t S M^-1)
圆锥的对偶，适用于平面而不是点，由S的倒数表示;对于平面q（表示为行向量）：
plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
= q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
= (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t
transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is: (M S^-1 M^t)
因此，您正在寻找与变换后的圆锥相切的轴对齐平面：
let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ] (note that R is symmetric: R=R^t)
[ r12 r22 r23 r24 ]
[ r13 r23 r33 r34 ]
[ r14 r24 r34 r44 ]
axis-aligned planes are:
xy planes: [ 0 0 1 -z ]
xz planes: [ 0 1 0 -y ]
yz planes: [ 1 0 0 -x ]
要找到与R相切的xy对齐平面：
[0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
[ 0 ]
[ 1 ]
[-z ]
so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
= (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44
同样，对于xz对齐的平面：
y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44
和yz对齐的平面：
x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44
这为您提供了转换球体的精确边界框。
这不适用于非均匀缩放。用拉格朗日乘子（KKT定理）计算任意可逆仿射变换是可能的，我相信它会变得丑陋。
但是 - 你确定你需要一个确切的AABB吗？您可以通过变换球体的原始AABB并获得其AABB来近似它。它比确切的AABB大，所以它可能适合您的应用程序。
为此，我们需要有三个伪函数：
GetAABB(sphere) 将得到一个球体的AABB。
GetAABB(points-list) 将获得给定点集的AABB（仅对所有点的最小/最大坐标）。
GetAABBCorners(p, q) 将获得AABB的所有8个角点（p和q都在其中）。
(p, q) = GetAABB(sphere);
V = GetAABBCorners(p, q);
for i = 1 to 8 do
V[i] = Transform(T, V[i]);
(p, q) = GetAABB(V);
@gorestorm的答案很棒，但可以简化很多。如果 M 是球体的变换矩阵，从1开始索引，然后是
x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)
（这假设球体在变换之前具有半径1并且其原点位于原点。）
我写了一篇带有证据的博客文章 这里，这对于合理的Stack Overflow答案来说太长了。